\section{2006甲B}
一、（$30'$）已知谐振子处于第$n$个定态中，试导出算符$\hat{x},\hat{p},(\hat{x})^2,(\hat{p})^2$的平均值及不确定度$\Delta x,\Delta p$，并求出$\Delta x\cdot\Delta p$值。

二、（$30'$）设$\hat{\mu}$为幺正算符，若存在两个厄米算符$\hat{A}$和$\hat{B}$使
$\hat{\mu}=\hat{A}+i\hat{B}$。试证：

（1）$\hat{A}^2+\hat{B}^2=1$，且$[\hat{A},\hat{B}]=0$；

（2）进一步再证明$\hat{\mu}$可表示成$\hat{\mu}=e^{i\hat{H}}$，$\hat{H}$为厄米算符。

三、（$30'$）一个质量为$m$的粒子被限制在$0\le x\le a$的一维无穷深势阱中。初始时刻其归一化波函数为$\psi(x,0)=\sqrt{\frac{8}{5a}}(1+\cos\frac{\pi x}{a})\sin\frac{\pi x}{a}$，求：

（1）$t>0$时粒子的状态波函数；

（2）在$t=0$与$t>0$时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少？


四、（$30'$）粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰$H'=\frac{V_0}{a}(a-|2x-a|)$的作用。求第$n$个能级的一级近似，并分析所的结果的适用条件。


五、一个质量为$m$ 的粒子被限制在 $r = a $和 $r = b$ 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化的波函数。



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\section*{2006甲B解答}
一、（$30'$）已知谐振子处于第$n$个定态中，试导出算符$\hat{x},\hat{p},(\hat{x})^2,(\hat{p})^2$的平均值及不确定度$\Delta x,\Delta p$，并求出$\Delta x\cdot\Delta p$值。

解：

谐振子的定态为对称本征态，$\langle \hat{x}\rangle=0,\langle \hat{p}\rangle=0$。由位力定理，$2\langle V\rangle=2\langle T\rangle=E_n$，有：
$$\langle x^2\rangle=\frac{\hbar}{m\omega}(n+\frac{1}{2})\qquad
\langle p^2\rangle =(n+\frac{1}{2})m\omega\hbar
$$
$$
\Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}(n+\frac{1}{2})} \qquad
\Delta p=\sqrt{(n+\frac{1}{2})m\omega\hbar}$$
$$\Delta x\cdot\Delta p=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$$

二、（$30'$）设$\hat{\mu}$为幺正算符，若存在两个厄米算符$\hat{A}$和$\hat{B}$使
$\hat{\mu}=\hat{A}+i\hat{B}$。试证：

（1）$\hat{A}^2+\hat{B}^2=1$，且$[\hat{A},\hat{B}]=0$；

（2）进一步再证明$\hat{\mu}$可表示成$\hat{\mu}=e^{i\hat{H}}$，$\hat{H}$为厄米算符。

解：

（1）幺正算符满足：$S^\dagger S=SS^\dagger=1$，有：
$$\mu^\dagger\mu=(\hat{A}-i\hat{B})(\hat{A}+i\hat{B})=\hat{A}^2+i\hat{A}\hat{B}-i\hat{B}\hat{A}+\hat{B}^2=1 $$
$$\mu\mu^\dagger=(\hat{A}+i\hat{B})(\hat{A}-i\hat{B})=\hat{A}^2-i\hat{A}\hat{B}+i\hat{B}\hat{A}+\hat{B}^2=1$$
两式相减，有：
$$2i\hat{A}\hat{B}-2i\hat{B}\hat{A}=0\qquad 
\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=0 \qquad
[\hat{A},\hat{B}]=0\qquad
\hat{A}^2+\hat{B}^2=1$$
{ \hypertarget{2006jiaB2}{另一种表述来的更明显}，所以要主要数学表述，突出重点：}
$$\mu^\dagger\mu=(\hat{A}-i\hat{B})(\hat{A}+i\hat{B})=\hat{A}^2+i\hat{A}\hat{B}-i\hat{B}\hat{A}+\hat{B}^2=\hat{A}^2+\hat{B}^2+i[\hat{A},\hat{B}]=1 $$
$$\mu\mu^\dagger=(\hat{A}+i\hat{B})(\hat{A}-i\hat{B})=\hat{A}^2-i\hat{A}\hat{B}+i\hat{B}\hat{A}+\hat{B}^2=\hat{A}^2+\hat{B}^2-i[\hat{A},\hat{B}]=1$$
{ 是不是一目了然！}

（2）

{ 算符是类似微分样的“作用”，我不知道指数形式$e^{i\hat{H}}$的算符有什么物理意义？}

由$[\hat{A},\hat{B}]=0,\hat{A},\hat{B}$为厄米算符，知：$\hat{A},\hat{B}$存在共同本征函数$\phi_n$。设$\hat{A}\phi_n=a_n\phi_n,\quad B\phi_n=b_n\phi_n$，又$\hat{A}^2+\hat{B}^2=1$，有：
$$\hat{A}^2\phi_n+\hat{B}^2\phi_n=\phi_n\qquad a_n^2+b_n^2=1$$
令$a_n=\cos\chi_n\qquad b_n=\sin\chi_n$，有：
$$\hat{\mu}\phi_n=(\hat{A}+i\hat{B})\phi_n=(\cos\xi_n+i\sin\xi_n)\phi_n=e^{i\xi_n}\phi_n$$
若定义厄米算符$\hat{H}$使$\hat{H}\psi_n=\xi_n\psi$，则必有$\hat{\mu}=e^{i\hat{H}}$为幺正算符。

{ 曾题集p91,4.21没看懂？？？？？？$\hat{H}$为一种类似$\frac{d}{dx}$微分的作用，这作用跑到$e^{i\hat{H}}$中，用起来怎么用呢？}

三、（$30'$）一个质量为$m$的粒子被限制在$0\le x\le a$的一维无穷深势阱中。初始时刻其归一化波函数为$\psi(x,0)=\sqrt{\frac{8}{5a}}(1+\cos\frac{\pi x}{a})\sin\frac{\pi x}{a}$，求：

（1）$t>0$时粒子的状态波函数；

（2）在$t=0$与$t>0$时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少？

解：{ 用该系统的本征函数表示$\psi(x,0)$，一般都要这样处理，便于问题的讨论，而且直观。}

该无限深势阱的本函数及本征值为：
$$\phi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
\begin{align*}
\psi(x,0)&=\sqrt{\frac{8}{5a}}(1+\cos\frac{\pi x}{a})\sin\frac{\pi x}{a}
=\sqrt{\frac{8}{5a}}(\sin\frac{\pi x}{a}+\cos\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi x}{a})\\
&=\sqrt{\frac{4}{5}}\cdot\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{\pi x}{a}+\sqrt{\frac{8}{5a}}\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi x}{a}
=\sqrt{\frac{4}{5}}\phi_1+\sqrt{\frac{1}{5}}\phi_2
\end{align*}

（1）
$$\psi(x,t)=\sqrt{\frac{4}{5}}\phi_1e^{\frac{iE_1t}{\hbar}}+\sqrt{\frac{1}{5}}\phi_2e^{\frac{iE_2t}{\hbar}}\qquad \text{其中：}E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\quad E_2=\frac{4\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$

（2）

在$t=0$时刻，
$$\rho(0)=|\psi(x,0)|^2=(\sqrt{\frac{4}{5}}\phi_1+\sqrt{\frac{1}{5}}\phi_2)^2
=\frac{4}{5}\phi_1^2+\frac{1}{5}\phi_2^2+\frac{4}{5}\phi_1\phi_2$$
左半部发现粒子概率为：
\begin{align*}
P(0)&=\int_0^\frac{a}{2}\rho(0)dx=\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{a}\int_0^\frac{a}{2}\sin^2(\frac{\pi x}{a})dx+\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{a}\int_0^\frac{a}{2}\sin^2(\frac{2\pi x}{a})dx+\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{a}\int_0^\frac{a}{2}\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{2\pi x}{a}dx\\
&=\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{a}\cdot\frac{a}{4}+\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{a}\cdot\frac{a}{4}+\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{a}\cdot\frac{2a}{3\pi}
=\frac{1}{2}+\frac{16}{15\pi}
\end{align*}
其中：
\begin{align*}
&\int \sin^2n xdx=\int \frac{1-\cos 2nx}{2}dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4n}\sin 2nx\\
&\int_0^{\frac{a}{2}}\sin^2(\frac{\pi}{a}x)dx=\frac{1}{2}x\Big|_0^{\frac{a}{2}}-\frac{1}{4}\cdot\frac{a}{\pi}\sin\frac{2\pi x}{a}\Big|_0^{\frac{a}{2}}=\frac{a}{4}\\
&\int_0^\frac{a}{2}\sin^2(\frac{2\pi}{a}x)dx=\frac{1}{2}x\Big|_0^{\frac{a}{2}}-\frac{1}{4}\cdot\frac{a}{2\pi}\sin\frac{4\pi x}{a}\Big|_0^{\frac{a}{2}}=\frac{a}{4}\\
&\int \sin nx \sin 2nx dx=2\int \sin^2 nx \cos nx dx=\frac{2}{n}\int \sin^2 nx d\sin nx=\frac{2}{3n}\sin^3 nx\\
&\int_0^\frac{a}{2}\sin \frac{\pi}{a}x\sin\frac{2\pi x}{a}dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{a}{\pi}\sin^3\frac{\pi x}{a}\Big|_0^\frac{a}{2}=\frac{2a}{3\pi}
\end{align*}

在$t>0$时刻，
\begin{align*}
\rho(t)&=|\psi(x,t)|^2=\psi^*(x,t)\psi(x,t)
=(\sqrt{\frac{4}{5}}\phi_1 e^{-\frac{iE_1t}{\hbar}}+\sqrt{\frac{1}{5}}\phi_2 e^{-\frac{iE_2t}{\hbar}})(\sqrt{\frac{4}{5}}\phi_1 e^{\frac{iE_1t}{\hbar}}+\sqrt{\frac{1}{5}}\phi_2 e^{i\frac{E_2t}{\hbar}})\\
&=\frac{4}{5}\phi_1^2+\frac{1}{5}\phi_2^2+\frac{4}{5}\phi_1\phi_2\cos\frac{t}{\hbar}(E_2-E_1)
\end{align*}
左半部发现粒子的概率为：
$$P(t)=\int_0^{\frac{a}{2}}\rho(t)=\frac{1}{2}+\frac{16}{15\pi}\cos\frac{3\pi^2\hbar t}{2ma^2}\qquad \text{其中：}E_2-E_1=\frac{4\pi^2\hbar^2}{2ma^2}-\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}=\frac{3\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
计算可以直接用$t=0$时刻的结论。

四、（$30'$）粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰$H'=\frac{V_0}{a}(a-|2x-a|)$的作用。求第$n$个能级的一级近似，并分析所的结果的适用条件。

解：缺图

当$2x-a>0$，即：$x>\frac{a}{2}$时，$H'=\frac{V_0}{a}(a-2x+a)=-\frac{2V_0}{a}x+2V_0$；

当$2x-a<0$，即：$x<\frac{a}{2}$时，$H'=\frac{V_0}{a}(a+2x-a)=\frac{2V_0}{a}x$；

当$2x-a=0$，即：$x=\frac{a}{2}$时，$H'=V_0$。
$$\phi_n^0=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}\qquad E_n^0=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
\begin{align*}
E_n^1&=\langle \phi_n^0|H'|\phi_n^0\rangle
=\frac{2}{a}\int_0^\frac{a}{2}(-\frac{2V_0}{a}x+2V_0)\sin^2(\frac{n\pi x}{a})dx+\frac{2}{a}\int_{\frac{a}{2}}^a\frac{2V_0}{a}x\sin^2(\frac{n\pi x}{a})dx\\
&=-\frac{4V_0}{a^2}\int_0^\frac{a}{2}x\sin^2(\frac{n\pi x}{a})dx+\frac{4V_0}{a^2}\int_{\frac{a}{2}}^a x\sin^2(\frac{n\pi x}{a})dx+\frac{4V_0}{a}\int_0^\frac{a}{2}\sin^2(\frac{n\pi x}{a})dx\\
&=\begin{cases}-\frac{4V_0}{a^2}(\frac{a^2}{16}+\frac{a^2}{4n^2\pi^2})+\frac{4V_0}{a^2}(\frac{3a^2}{16}-\frac{a^2}{4n^2\pi^2})+V_0 ,&n\text{为奇}\\
-\frac{4V_0}{a^2}\cdot\frac{a^2}{16}+\frac{4V_0}{a^2}\cdot\frac{3a^2}{16}+V_0, &n\text{为偶}\end{cases}
=\begin{cases}\frac{3V_0}{2}-\frac{2V_0}{n^2\pi^2},&n\text{为奇}\\
\frac{3V_0}{2},&n\text{为偶}\end{cases}
\end{align*}
其中
\begin{align*}
&\int \sin^2pxdx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4p}\sin 2px \qquad
\int_0^\frac{a}{2}\sin^2(\frac{n\pi x}{a})dx=\frac{1}{2}x\Big|_0^\frac{a}{2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{a}{n\pi}\sin\frac{2n\pi}{a}x\Big|_0^\frac{a}{2}=\frac{a}{4}\\
&\int x\sin^2px dx=\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4p}\sin 2px-\frac{1}{8p^2}\cos 2px\\
&\int_0^\frac{a}{2} x\sin^2(\frac{n\pi }{a}x)dx=\frac{x^2}{4}\Big|_0^\frac{a}{2}-\frac{x}{4}\cdot\frac{a}{n\pi}\sin\frac{2n\pi x}{a}\Big|_0^\frac{a}{2}-\frac{1}{8}(\frac{a}{n\pi})^2\cos\frac{2n\pi x}{a}\Big|_0^\frac{a}{2}=\begin{cases}\frac{a^2}{16}+\frac{a^2}{4n^2\pi^2},&n\text{为奇数}\\ \frac{a^2}{16},&n\text{为偶数}\end{cases} 
\end{align*}
\begin{align*}
\int_\frac{a}{2}^a x\sin^2(\frac{n\pi}{a}x)dx&=\frac{x^2}{4}\Big|_\frac{a}{2}^a-\frac{x}{4}\cdot\frac{a}{n\pi}\sin\frac{2n\pi x}{a}\Big|_\frac{a}{2}^a-\frac{1}{8}(\frac{a}{n\pi})^2\cos\frac{2n\pi x}{a}\Big|_\frac{a}{2}^a\\
&=\frac{3a^2}{16}-\frac{1}{8}(\frac{a}{n\pi})^2(\cos 2n\pi-\cos n\pi)
=\begin{cases}\frac{3a^2}{16}-\frac{a^2}{4n^2\pi^2},&n\text{为奇}\\
\frac{3a^2}{16},&n\text{为偶}\end{cases}
\end{align*}
$$E_n=E_n^0+E_n^1=
\begin{cases}
\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}-\frac{2V_0}{n^2\pi^2}+\frac{3V_0}{2},&n\text{为奇}\\
\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}+\frac{3V_0}{2},&n\text{为偶}
\end{cases}$$
适用条件，$\left|\frac{H'_{mn}}{E_n^0-E_m^0}\right|\ll1$，即：$V_0\ll0$。

五、一个质量为$m$ 的粒子被限制在 $r = a $和 $r = b$ 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化的波函数。

与\hyperlink{2007A5}{2007年A第五题}相同。
















































